Kerangka penilaian dari eksekutif stock options in an intensity based

Penilaian Pilihan Saham Eksekutif dalam Kerangka Kerja Intensitas Berbasis Transkripsi 1 Tinjauan Keuangan Eropa 4. Penerbit Akademik Kluwer. Dicetak di Belanda. 211 Penilaian Pilihan Saham Eksekutif dalam Kerangka Berbasis Intensitas PETER CARR 1 dan VADIM LINETSKY 2 1 Banc of America Securities, Produk Keuangan Ekuitas, 9 jalan ke 57 Barat, lantai 4, New York, NY Departemen Ilmu Teknik dan Manajemen Industri, Sekolah Teknik dan Ilmu Pengetahuan McCormick, Universitas Northwestern, 2145 Sheridan Road, Evanston, IL Abstrak. Makalah ini menyajikan kerangka berbasis intensitas umum untuk menilai opsi saham eksekutif (ESO). Ini dibangun berdasarkan kemajuan terkini di arena pemodelan risiko kredit. Latihan awal atau penyitaan karena penghentian kerja sukarela atau tidak disengaja dan latihan awal karena keinginan eksekutif untuk likuiditas atau diversifikasi dimodelkan sebagai proses titik eksogen dengan intensitas acak tergantung pada harga saham. Dua spesifikasi analitik yang dapat dikategorikan diberikan dimana nilai ESO, perkiraan waktu pelaksanaan atau penyitaan, dan harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau penyitaan dihitung dalam bentuk tertutup. Kata kunci: daerah Brown, latihan awal, opsi saham eksekutif, formula Feynman-Kac, penyitaan, transformasi Laplace, waktu pendudukan, proses titik dengan intensitas acak. Klasifikasi JEL: G13, G39, M Pendahuluan Opsi saham eksekutif (executive stock options / ESOs) saat ini merupakan sebagian besar dari banyak perusahaan yang memiliki biaya kompensasi total. Penting untuk menilai secara akurat biaya opsi ini kepada pemegang saham baik untuk tujuan akuntansi dan dari perspektif kontrol manajerial (lihat Carpenter, 1998 Foster et al 1991 Jennergren dan Naslund, 1993). Sejak 1995, Standar Akuntansi Keuangan (FASB) SFAS 123 telah mengamanatkan bahwa perkiraan biaya hibah ESO diungkapkan dalam catatan kaki. Meskipun tidak diperlukan, metode penilaian yang disarankan adalah menggunakan formula penentuan harga call Black Scholes Eropa. Kematangan yang disarankan yang digunakan dalam formula ini adalah kehidupan yang diharapkan, walaupun umur maksimal (biasanya 1 tahun di hibah) juga dapat digunakan. Rubinstein (1995) mengemukakan alasan teoritis bahwa kedua metode tersebut akan cenderung menyebabkan overvaluation. Demikian pula, Marquardt (1999) empir - Kami berterima kasih atas bantuan komputasi dari Dmitry Davydov dan untuk komentar dari Jim Bodurtha, Menachem Brenner, Jennifer Carpenter, Bill Margrabe, dan Carol Marqurdt. Mereka tidak bertanggung jawab atas kesalahan apapun. 2 212 PETER CARR DAN VADIM LINETSKY ically menentukan bahwa kedua metode tersebut terlalu menilai biaya ekonomi bagi pemegang saham untuk menerbitkan ESO. ESO biasanya bertanggal lama dengan panggilan Amerika yang berbeda dari pilihan standar karena mereka memiliki periode vesting awal selama latihan dilarang. Meskipun mudah menentukan secara numerik nilai dan kebijakan latihan optimal untuk ESO di pasar tanpa gesekan, friksi kelembagaan tertentu mempersulit penentuan kebijakan latihan optimal untuk ESO. Pertama, pemegang ESO tidak bisa menjual atau mengalihkan pilihannya. Selanjutnya, pemegang obligasi tidak dapat melakukan lindung nilai atas callnya karena posisi short di stock perusahaan dilarang. Sebaliknya, penerbit diperbolehkan untuk mengalihkan tanggung jawab mereka atau melindungi kewajiban mereka. Secara umum, asimetri ini mendorong irisan antara nilai ke penerima dan nilainya ke penerbit. Kedua nilai tersebut dipengaruhi oleh kebijakan pelaksanaan yang digunakan oleh eksekutif, yang pada umumnya ditentukan baik oleh informasi publik seperti harga saham dan informasi khusus eksekutif seperti komposisi portofolio pribadi, risk aversion, dan permintaan likuiditas eksekutif. Kebijakan latihan yang optimal yang dipekerjakan oleh eksekutif tidak sesuai dengan kebijakan pelaksanaan yang optimal yang berlaku tanpa adanya friksi ini karena latihan awal mungkin optimal untuk alasan diversifikasi atau likuiditas walaupun stok dasarnya tidak membayarkan dividen. Alasan kedua mengapa kebijakan latihan eksekutif yang optimal dapat menyimpang dari kebijakan pasar yang sempurna adalah bahwa eksekutif dapat membiarkan perusahaan tersebut secara sukarela atau tanpa sengaja sementara pilihannya tetap hidup. Dalam kasus ini, eksekutif kehilangan pilihannya jika mereka kekurangan uang, dan harus berolahraga lebih awal jika mereka berada di dalam uang. Dua pendekatan umum telah diadopsi untuk memodelkan keputusan pelaksanaan eksekutif dan menilai biaya ESO ke perusahaan. Dalam pendekatan pertama, seseorang mengasumsikan bahwa eksekutif menjalankan opsi tersebut sesuai dengan kebijakan yang memaksimalkan utilitas yang diharapkannya sesuai dengan batasan lindung nilai (Huddart, 1994 Marcus dan Kulatilaka, 1994 Detemple and Sundaresan, 1998). Dalam pendekatan ini, seseorang harus secara eksplisit memodelkan variabel yang tidak dapat diamati tersebut sebagai penghindaran risiko eksekutif, kekayaan luarnya, dan potensi keuntungan dari perubahan lapangan kerja. Dalam pendekatan alternatif, satu model latihan awal sebagai waktu berhenti eksogen, mis. Waktu loncatan pertama dari beberapa proses Poisson eksogen, seperti pada Jennergren dan Naslund (1993). Proses Poisson berfungsi sebagai proxy untuk segala hal yang menyebabkan eksekutif menggunakan opsi ini lebih awal, termasuk keinginan untuk diversifikasi atau likuiditas, dan penghentian kerja sukarela atau tidak sukarela. Berbeda dengan pendekatan maksimisasi utilitas, tingkat bahaya atau intensitas proses Poisson eksogen adalah satu-satunya parameter dalam model yang perlu diestimasi dari data empiris. Dalam sebuah makalah baru yang menarik, Carpenter (1998) menunjukkan bahwa model intensitas berbasis bentuk kedua ini berkinerja baik atau lebih baik daripada model struktural yang lebih rumit dalam uji empiris dari dua model penilaian ESO yang bersaing dalam memprediksi pola latihan aktual untuk sampel 4 perusahaan. Dikotomi ini dalam pemodelan keputusan latihan eksekutif paralel dengan pemodelan kejadian default yang diperlukan dalam penilaian hutang perusahaan berisiko kredit. Tiga literatur tentang hutang berisiko kredit dapat dibagi menjadi dua kelas: model struktural dan model intensitas berbasis bentuk rendah. Model kelas pertama, yang berasal dari Black and Scholes (1973) dan Merton (1974), memodelkan kejadian default secara struktural sebagai keputusan maksimalisasi utilitas oleh pemegang ekuitas (lihat Leland (1994) dan Leland and Toft (1996)). Model kelas kedua adalah model bentuk tereduksi yang secara eksogen menentukan default seperti yang terjadi pada waktu lompatan pertama dari suatu proses titik dengan intensitas acak (tingkat bahaya default) (lihat Duffie et al 1996 Duffie dan Singleton, 1998 Jarrow and Turnbull, 1995 Jarrow et al 1996 Lando, 1998 Madan dan Unal, 1996, 1998). Davydov dkk. (1998) menilai hutang berisiko kredit dalam kerangka berbasis intensitas dengan pendekatan yang serupa dengan pendekatan kita. Dalam semua model seperti itu, intensitas proses titik dikalibrasi ke data empiris. Karena kesederhanaan yang relatif dari kalibrasi dan pengujian empiris, filosofi pemodelan bentuk yang dikurangi semakin populer di pasar kredit. Kontribusi tulisan ini dua kali lipat. Pertama, kita mengembangkan kerangka berbasis intensitas stokastik umum untuk penilaian ESO dimana intensitas awal atau intensitas penyitaan h t h (s t, t) bergantung pada harga saham dan waktu yang mendasarinya. Kedua, kami menyarankan dua spesifikasi analitik sederhana dari model tikus aktif tikus. Dalam contoh pertama, intensitas ditentukan sebagai berikut (dengan asumsi ESO adalah hak): ht lambda f lambda e 1, (1) di mana S t adalah harga saham yang mendasarinya, K adalah harga pemogokan ESO, lambda f adalah Intensitas konstan latihan awal atau penyitaan karena pemutusan hubungan kerja sukarela atau paksa secara sukarela (diasumsikan independen dari harga saham), dan lambda e 1 adalah intensitas konstan dari latihan awal karena keinginan eksportif eksekutif untuk likuiditas atau diversifikasi diasumsikan positif. Dan konstan jika ESO ada di-the-money dan nol sebaliknya (1 A adalah fungsi indikator acara A e in lambda e adalah latihan). Dengan demikian, intensitas penyitaan ketika persediaan di luar uang adalah lambda f (f adalah singkatan dari penyitaan), sedangkan intensitas total latihan awal bila pilihannya ada di dalam uang adalah lambda f lambda e. Bahaya terpadu secara linier bergantung pada waktu pendudukan dari persediaan di atas pemogokan K (yaitu ketika ESO ada dalam uang) dan model penilaian ESO yang sesuai mengacu pada beberapa hasil terkini pada derivatif waktu pendudukan (lihat Akahori, 1995 Chesney Et al 1997 Dassios, 1995 Davydov dan Linetsky, 1998 Embrechts et al 1995 Hugonnier, 1998 Linetsky, 1998, 1999 Pechtl, 1995, 1998). Dalam contoh analitik kedua, intensitas ditentukan sebagai berikut (dengan asumsi ESO adalah hak): h t lambda f lambda e (ln S t ln K). (2) 4 214 PETER CARR DAN VADIM LINETSKY Dalam hal ini, istilah pertama karena penghentian masih terlepas dari harga saham, 1 namun istilah kedua karena keinginan likuiditas atau diversifikasi sekarang merupakan fungsi monoton yang meningkat dari underlying Harga saham jika ESO ada di-the-money dan nol sebaliknya (x: x1 menunjukkan bagian positif dari x). Bahaya terpadu secara linear bergantung pada area Brownian dan model penilaian ESO yang sesuai mengacu pada hasil Davydov, Linetsky dan Lotz (1998) mengenai pilihan area. Sisa dari makalah ini disusun sebagai berikut. Pada Bagian 2, kami mempertimbangkan kerangka berbasis intensitas stokastik umum untuk penilaian ESO. Pada Bagian 3, kita selesaikan model dengan spesifikasi intensitas yang diberikan pada (1). Pada Bagian 4, kita selesaikan model dengan spesifikasi intensitas (2). Contoh numerik diberikan pada Bagian 5. Bagian 6 menyimpulkan makalah ini. 2. Perumusan Berbasis Intensitas Umum Kami mengasumsikan pasar tanpa gesekan, tidak ada dividen, tingkat risiko yang konstan r, dan bahwa harga saham yang mendasarinya mematuhi proses difusi berikut berdasarkan ukuran probabilitas risiko. T: ds t rs t dt sigma (st, t ) St dw Q t, t gt, SS, di mana Wt Q adalah gerakan Brown standar, prosesnya dimulai pada SS pada waktu t, dan sigma fungsi volatilitas lokal (s, t) diasumsikan terus menerus dan sangat positif untuk semua S ,) Dan dibatasi sebagai S (untuk semua t). Waktu latihan awal atau penyitaan T dapat dianggap sebagai waktu loncatan pertama dari sebuah proses dengan intensitas acak (hazard rate) h t, yang umumnya merupakan fungsi waktu dan harga saham yang mendasarinya, h t h (s t, t). Kemudian probabilitas di bawah Q tidak ada latihan awal sampai waktu t untuk jalur harga saham tertentu adalah (lihat Bremaud (198) dan Lando (1998) untuk rincian tentang proses titik dengan intensitas acak): dan Q (T gtt) eth (su , U) du, (3) Q (T gtt) EQ, S eth (su, u) du, di mana ekspektasinya berkenaan dengan ukuran risiko netral T. Melewatkan tanggal pemberian ESO dan tv, T menjadi Tanggal pelunasan ESO, nilai pada t, T dari ESO yang tidak dieksekusi dengan harga strike K dan maturity T diberikan oleh ekspektasi risiko netral: 1 Secara umum, seseorang juga dapat membuat efek penyitaan lambda fa dari harga saham yang berdebat. Bahwa eksekutif lebih cenderung meninggalkan perusahaan ketika harga sahamnya rendah relatif terhadap harga pemogokan ESO-nya. Untuk kesederhanaan kita asumsikan lambda f konstan. 5 PILIHAN SAHAM EKSEKUTIF DALAM KERANGKA KERJA BERBASIS INTENSITAS 215 C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s 1 (STK) EQ t, ser (tt) 1 (STK), (4) di mana T adalah Waktu berhenti diasumsikan sebagai waktu loncatan pertama dari proses titik dengan intensitas ht, dan subskrip t, s dalam ekspektasi operator E t, s menandakan bahwa harga saham adalah S pada waktu t. Perhatikan bahwa, setelah Jennergren dan Naslund (1993), kami berasumsi bahwa risiko lompatan tidak mahal, yaitu bahwa hal itu dapat terdiversifikasi dengan menerbitkan portofolio ESO yang beragam. Karena banyak perusahaan mengeluarkan beberapa ESO 2, kami menganggap ini sebagai asumsi yang masuk akal dalam praktik. Istilah pertama di sisi kanan Persamaan (4) adalah nilai sekarang dari opsi pembayaran pada saat jatuh tempo tidak diberikan latihan awal. Istilah kedua adalah nilai sekarang dari hasil pada saat latihan, mengingat opsi tersebut dilakukan lebih awal. Penguraian nilai ini analog dengan dekomposisi nilai yang timbul untuk sekuritas yang tidak pasti. Istilah pertama dalam (4) adalah analog dengan nilai sekarang dari syarat pembayaran yang dijanjikan tanpa default, sedangkan jangka kedua adalah nilai sekarang dari pembayaran pemulihan yang dibayarkan pada saat default jika default terjadi sebelum jatuh tempo. Karena hubungan kunci (3), harapan dapat ditulis ulang dalam bentuk: e C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s max (tv, t) er (ut) EQ t , Sthu du (STK) euths ds hu (S u K) du. Dengan teorema Feynman-Kac (lihat, misalnya Karatzas dan Shreve (1992)), nilai ESO C (S, t K, T) pada waktu t, t lt T, adalah solusi unik untuk masalah Cauchy untuk PDE: 1 2 sigma 2 (S, t) s 2 2 CS rs C 2 S rc h (s, t) 1 (SK) CC t tunduk pada kondisi terminal, (5) C (S, TK, T) (SK) . (6) Makna keuangan dari istilah terakhir kedua di sisi kiri Persamaan (5) adalah bahwa selama periode waktu yang sangat kecil, ada probabilitas eksekutif menggunakan pilihan dan penerimaannya (S t K ) Sebagai imbalan jika ESO dipegang (t gtt v) dan tidak ada yang lain (pilihannya dibatalkan). Selain nilai ESO, kami juga tertarik dengan perkiraan waktu pelaksanaan atau penyitaan (kematangan ESO yang diharapkan): T TE P, S 1 EP, S 1 T, (7) 2 Misalnya, Marquardt (1999) meneliti 58 perusahaan Fortune 1 selama 21 tahun dan menemukan rata-rata 17 hibah per perusahaan. 6 216 PETER CARR DAN VADIM LINETSKY dan harga saham yang diharapkan pada saat exercise atau penyitaan: S T E P, S 1 S T E P, S 1 S T. (8) Perhatikan bahwa, berbeda dengan perhitungan nilai ESO yang dilakukan di bawah ukuran risiko netral Q, jumlah ini dihitung berdasarkan ukuran statistik P dimana: ds t ms t dt sigma (st, t) st dw P T, SS, dan m adalah tingkat persentase pengembalian tahunan yang diharapkan pada saham di dunia nyata (m diasumsikan konstan). Dengan menggunakan hubungan kunci (3) (dipertimbangkan di bawah P), mudah untuk melihat bahwa Persamaan (7) - (8) dikurangi menjadi: dan TP (T gtt) TP (TT) t dt P (T gtt) dt teth Su, u) du dt, (9) EP, SSTE, S e PTT h (st, t) dt STE, S e P th (su, u) du h (st, t) st dt. (1) Carpenter (1998), Huddart dan Lang (1996), dan Marquardt (1999) semua memberi waktu yang diharapkan secara empiris untuk olahraga dan harga saham rata-rata pada saat latihan untuk sampel mereka. Dengan nilai parameter m, sigma, S, t v, andt, seseorang dapat mengkalibrasi intensitas latihan atau penyerapan h ke data empiris dengan menggunakan Persamaan (9) dan (1). 3. Spesifikasi Waktu Pendudukan: Model Opsi Langkah untuk Menilai ESO Pada bagian ini, kami membatasi penyiapan yang dibahas di bagian sebelumnya dengan maksud untuk mendapatkan solusi eksplisit untuk jumlah yang diminati. Kami mengasumsikan volatilitas konstan, yaitu sigma (s, t) sigma, dan pilihannya adalah vested, misal t v (kami memberikan opsi yang belum diberikan pada akhir Bagian ini). Kami juga mempertimbangkan spesifikasi yang sangat sederhana untuk intensitas latihan atau penyitaan: (i) di mana S t adalah harga saham yang mendasarinya, K adalah harga pemogokan ESO, lambda f adalah intensitas konstan awal Latihan atau penyitaan karena pemutusan hubungan kerja sukarela atau paksa secara spontan (diasumsikan independen dari harga saham), 7 PILIHAN SAHAM EKSEKUTIF DALAM KERANGKA KERJA BERMOTOR DAN REMAJA 1 adalah intensitas konstan dari latihan awal karena eksotisme eksekutif. Keinginan untuk likuiditas atau diversifikasi diasumsikan positif dan konstan jika ESO ada di-the-money dan nol sebaliknya. Berdasarkan asumsi ini, nilai ESO awal (yaitu t) (4) menyederhanakan ke 3. C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S e lambda etau K (T) (STK) (lambda F (d), (12) di mana tau K (t) t 1 du adalah waktu pendudukan in-the-money Wilayah sampai waktu t. Ekspektasi ini dapat dinyatakan sebagai portofolio opsi langkah geometris yang up-andout dengan tingkat knock-out lambda e dan knock-out barrier sama dengan strike: C (SK, T lambda f, lambda e) e lambda f TC lambda e ( ST, K, K) (lambda f lambda e) e lambda ft lambda e (S t, k, k) dt, (13) dimana C lambda e (S t, k, k) adalah nilai up - Dan langkah keluar geometris dengan harga strike K, tingkat knock-out lambda e, tingkat penghalang knock-out K, dan kematangan t (lihat Linetsky (1998, 1999)): C lambda e (S t, k, k) e Rt EQ, S e lambda etau K (t) (S t K). (14) Imbalan pada saat jatuh tempo dari panggilan langkah geometris dapat diartikan sebagai panggilan standar, kecuali bahwa nosional saham yang mendasarinya bergantung pada jalur, bergantung pada waktu pendudukan di atas pemogokan: e lambdatau K (t ). Dengan kata lain, sebuah panggilan langkah geometrik kehilangan fraksi tertentu dari nosional per satuan waktu di atas penghalang. Perkenalkan notasi berikut: x: 1 sigma ln (SK), nu: 1 sigma (r sigma 2 Maka harapan dalam Persamaan (14) dikurangi menjadi: 2), xi: r nu2 2. (15) C lambda e (S T, k, k) e (xilambda e) t nux K lambdae (nu sigma, x, t) lambdae (nu, x, t), (16) 3 Perhatikan bahwa intensitas penyitaan konstan lambda f ditambahkan ke tingkat diskonto Dalam Persamaan (12). Secara intuitif, kemungkinan penyitaan menurunkan nilai ESO dengan cara yang sama seperti kemungkinan default menurunkan nilai obligasi yang dapat dipertanggungjawabkan, dan intensitas penyitaan ditambahkan ke tingkat bebas risiko karena spread kredit. 8 218 PETER CARR DAN VADIM LINETSKY dimana fungsinya didefinisikan sebagai: rho (nu k, x, t): E, xe n r r (t) 1, (17) dimana harapan E, x bergantung pada gerak Brown W dimulai pada x pada t dan (t) t 1 du adalah waktu pendudukan dari garis setengah negatif (,) sampai waktu t. 4 Harapan ini dihitung dalam bentuk tertutup di Linetsky (1999). Untuk kenyamanan pembaca, bentuk analitik eksplisit dari fungsi diberikan pada Lampiran A. Dengan demikian, Persamaan (13) dan (16) memberikan solusi analitis sederhana untuk nilai ESO berdasarkan spesifikasi (11) untuk intensitas latihan dan penyitaan . Waktu yang diharapkan dari latihan atau penyitaan (9) berdasarkan spesifikasi ini adalah: T e (lambda f lambda e nup 2 2) t nu P x lambdae (nu P, x, t) dt, (18) di mana (ingat bahwa T dan ST dihitung berdasarkan ukuran statistik P): nu P: 1 sigma (m sigma 2 2). (19) Harga saham yang diharapkan pada saat exercise atau penyitaan adalah: ST e (lambda f lambda e nu 2 P 2) T nu P x K lambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f lambda e Nu 2 P 2) t nu P x lambda f lambdae (nu P sigma, x, t) lambda e lambdae (nu P sigma, x, t) dt. (2) Sekarang perhatikan kasus t v gt, yaitu pilihannya belum dipegang. Misalkan S v S (t v) adalah harga saham pada tanggal vesting. Nilai ESO pada tv vesting diberikan oleh C (S v K, T tv lambda f, lambda e) yang didefinisikan oleh Persamaan (13) (perhatikan bahwa waktu untuk jatuh tempo sekarang sama dengan T tv, jadi kita perlu mengganti TT tv dalam Persamaan (13)). Kemudian nilai ESO pada waktu t dihitung dengan mengambil harapan: C (S, K, tv, t lambda f, lambda e) e (rlambda f) tv C (S v K, T tv lambda f, lambda e) p Untuk latar belakang waktu pendudukan dan fungsi gerak Brownian dan proses difusi lainnya, dan juga kalkulasi hukum Feynman-Kac tentang hukum mereka, lihat Karatzas dan Shreve (lihat Sastra Inggris, 1992), Borodin dan Salminen (1996) dan Revuz dan Yor (1994). 9 PILIHAN SAHAM EKSEKUTIF DALAM KERANGKA KERJA BERBASIS INTENSITAS 219 di mana p Q adalah kerapatan probabilitas (lognormal) dari harga saham pada tanggal vesting, dengan harga saham yang diketahui saat ini (pada waktu t): (S v, tv S,) Exp S microtv, mikro r sigma 2 S v 2pisigma2 tv 2sigma 2 tv 2. (22) 4. The Brownian Area Keterangan: Model Pilihan Area untuk Menilai ESO Seperti pada bagian sebelumnya, pertama-tama kita asumsikan bahwa pilihan sudah dipegang, Yaitu tv. Berdasarkan spesifikasi waktu pendudukan, intensitas latihan atau penyitaan konstan di atas pemogokan. Alternatif analisis yang dapat dipertanggungjawabkan adalah: ()) ht lambda f lambda e (ln S t ln K) St lambda f lambda e (ln. (23) K Dalam kasus ini, istilah pertama karena pemutusan hubungan kerja sukarela atau tidak sukarela masih independen Dari harga saham, namun istilah kedua karena keinginan likuiditas atau diversifikasi sekarang merupakan fungsi peningkatan dari uang S t K jika ESO ada di dalam uang dan nol sebaliknya (x menunjukkan bagian positif dari x). Spesifikasi yang serupa untuk tingkat bahaya default digunakan oleh Davydov, Linetsky, dan Lotz (1998) untuk memodelkan hutang korporat berisiko kredit. Nilai ESO yang dipegang (4) berdasarkan spesifikasi ini berbentuk:) C (SK, T lambda f, Lambda e) e (rlambda f) TEQ, S exp (lambda e (ln S t ln K) dt (STK) t) e (rlambda f) t EQ, S exp (lambda e (lns u lnk) du () St Untuk menghitung ekspektasi ini, pertama-tama kita catat bahwa proses harga saham dapat diwakili sebagai: S t Ke sigma (nutw t), (25) di mana W t Adalah gerakan Brown mulai dari x (didefinisikan dalam Persamaan (15)) pada waktu t. Kemudian karena teorema Girsanov: C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TE, xe nu (w T x) nu2 2 T sigmalambda e w t dt (Ke sigmaw TK) e (rlambda f) T E, xe nu (wtx) nu2 2 t sigmalambda te w u du lambda f sigmalambda e w t 10 22 PETER CARR DAN LINIER VIRTAN (Ke sigmaw t K) dt e (xilambda f) T nux K sigmalambdae (nu sigma, x , T) sigmalambdae (nu, x, t) e nux K e (xilambda f) t lambda f sigmalambdae (nu sigma, x, t) sigmalambdae (nu sigma, x, t) lambda f sigmalambdae (nu, x, t) Sigmalambda e nu sigmalambdae (nu, x, t) sigmalambda e dt, (26) nu dimana kita memperkenalkan notasi berikut: alpha (nu k, x, t): E, xe nuw t alphaa t 1, (27) A t : T w u du. (28) Fungsi A t disebut daerah Brown sampai waktu t (lihat Perman and Wellner, 1996). Ini sama dengan area (acak) di bawah bagian positif dari jalur sampel Brown dari nol ke waktu t. Harapan dalam Persamaan (27) dihitung oleh Davydov, Linetsky, dan Lotz (1998) melalui teorema Feynman-Kac: alpha (nu k, x, t) e nuy E, xe alphaa t W t dy kke nuy L 1 t Dy, (29) di mana ekspektasi di dalam integral dinyatakan sebagai transformasi Laplace terbalik pada s dari kernel R alfa yang resolven (x, ys). Bentuk analitisnya diberikan pada Lampiran B. 5 Waktu yang diharapkan dari latihan atau penyitaan menurut spesifikasi ini adalah: T e (lambda f nup 2 2) t nu P x sigmalambdae (nu P, x, t) dt, (3) di mana Nu P diberikan dalam Persamaan (19). Harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau penyitaan adalah: 5 Perhitungan fungsi ini sangat dekat dengan perhitungan Geman dan Yor (1993) untuk opsi Asia dan Geman dan Yor (1996) untuk opsi penghalang ganda dan bergantung Pada formula Feynman-Kac. 11 PILIHAN SAHAM EKSEKUTIF DALAM KERANGKA BERBASIS INTENSITAS 221 ST e (lambda f nup 2 2) T nu P x K sigmalambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f nup 2 2) t nu P x lambda f Sigmalambdae (nu P sigma, x, t) sigmalambda e sigmalambdae (nu P sigma, x, t) nu P dt. (31) Kasus t v gt, yaitu pilihannya belum dilakukan, diperlakukan sama dengan Persamaan (21). 5. Contoh Numerik Untuk mengilustrasikan model kita, pertimbangkan ESO sepuluh tahun yang diberikan dengan uang 6 (S K 1) dan segera diberikan (t v). Kami berasumsi bahwa saham yang mendasari memiliki volatilitas 3 per tahun, tidak membayar dividen, tingkat risiko adalah 5 per tahun, dan tingkat persentase persentase pengembalian yang diharapkan pada saham berdasarkan ukuran statistik P adalah m 15 per tahun (ingat bahwa Waktu yang diharapkan untuk latihan atau penyitaan dan harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau penyitaan dihitung berdasarkan ukuran statistik). Tabel I dan II memberikan nilai ESO pada tanggal pemberian kompensasi, waktu pelaksanaan atau penyitaan yang diharapkan, dan harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau penyitaan sebagai fungsi parameter dari proses titik lambda f dan lambda e di bawah pekerjaan Spesifikasi waktu (11) dan spesifikasi area Brown (23). Untuk nilai lambda e, nilai ESO sama dengan nilai Black-Scholes sepuluh tahun, waktu latihan yang diharapkan sama dengan kematangan ESO (sepuluh tahun), dan harga saham yang diharapkan pada saat latihan sama dengan e 1m S (tidak ada latihan awal atau penyitaan). Seiring dengan kenaikan suku bunga dan lambda e, nilai ESO, perkiraan waktu latihan atau penyitaan dan harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau penyitaan berkurang. Dengan T dan S T, seseorang dapat mengkalibrasi model kami dengan mencocokkan parameter intensitas lambda f dan lambda e, dan nilai ESO dengan nilai parameter ini. Carpenter (1998) melaporkan bahwa waktu latihan rata-rata untuk ESO 1 tahun dalam sampelnya sekitar 5,8 tahun, dengan harga saham rata-rata pada saat pelaksanaan sekitar 2,8 kali harga pemogokan ESO. Marquardt (1999), yang mempelajari sampel berbeda dari perusahaan pemberian ESO, melaporkan bahwa waktu latihan rata-rata untuk ESO 1 tahun dalam sampelnya sekitar 5,6 tahun, dengan harga saham rata-rata pada saat pelaksanaan sekitar 2,2 kali harga pemogokan ESO . Dengan demikian, secara empiris, waktu latihan yang khas berada dalam rentang lima sampai enam tahun, dengan harga saham pada saat pelaksanaan dua sampai tiga kali pemogokan ESO. Perhatikan contoh model waktu pendudukan dengan lambda f 8 per tahun dan lambda e 12 per tahun. Waktu latihan yang diharapkan untuk intensitas ini adalah 4,99 tahun, dengan harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan 2,31 kali ESO 6 Marquardt (1999) menemukan bahwa 85 dari 987 ESO dalam sampelnya dikeluarkan dengan sepuluh tahun sampai jatuh tempo. Dia menyatakan bahwa sebagian besar dikeluarkan dengan strike sama dengan harga saham pada saat hibah. 12 222 PETER CARR DAN VADIM LINETSKY Tabel I. Model Waktu Pendudukan. Nilai ESO, waktu yang diharapkan untuk berolahraga atau penyitaan dan harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau penyitaan sebagai fungsi parameter intensitas lambda f dan lambda e. Parameter: K 1, S 1, T 1 tahun, sigma .3, r .5, m .15, tv, tidak ada dividen lambda e lambda f Nilai ESO Waktu latihan yang diharapkan atau waktu penyitaan (tahun) Harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau Penyitaan relatif terhadap pemogokan 13 PILIHAN SAHAM EKSEKUTIF DALAM KERANGKA BERBASIS INTENSITAS 223 Tabel II. Model Area. Nilai ESO, waktu yang diharapkan untuk berolahraga atau penyitaan dan harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau penyitaan sebagai fungsi parameter intensitas lambda f dan lambda e. Parameter: K 1, S 1, T 1 tahun, sigma .3, r .5, m .15, tv, tidak ada dividen lambda e lambda f Nilai ESO Waktu latihan yang diharapkan atau waktu penyitaan (tahun) Harga saham yang diharapkan pada saat pelaksanaan atau Penyitaan relatif terhadap pemogokan 14 224 PETER CARR DAN VADIM LINETSKY mogok. Nilai ESO yang sesuai dengan parameter ini Sebaliknya, metode penilaian yang direkomendasikan FASB adalah menggunakan formula penentuan harga panggilan Black Scholes Eropa. Kematangan yang digunakan dalam formula ini dapat berupa tanggal jatuh tempo (sepuluh tahun dalam kasus ini) atau perkiraan umur yang diharapkan (4,99 tahun dalam kasus ini). Nilai Black-Scholes yang sesuai dari panggilan sepuluh tahun adalah 56,38 lebih tinggi dari nilai yang diprediksi oleh model kami. Nilai Black-Scholes dari panggilan 4,99 tahun adalah 35,92, 6,87 lebih tinggi dari nilai yang diprediksi oleh model kami. Dengan demikian, nilai ESO yang dihitung sesuai dengan model berbasis intensitas jauh lebih rendah daripada nilai Black-Scholes yang sesuai, yang menjelaskan perilaku suboptimal eksekutif. Ini memiliki implikasi akuntansi yang signifikan. Jika seseorang menilai ESO untuk tujuan akuntansi menggunakan model Black-Scholes seperti yang direkomendasikan oleh FASB, seseorang akan secara signifikan melebih-lebihkan biaya sebenarnya kepada pemegang saham dan secara tidak adil menghukum perusahaan yang memberikan ESO. 6. Kesimpulan dan Petunjuk untuk Penelitian Masa Depan Kontribusi makalah ini dua kali lipat. Pertama, kami mengembangkan kerangka kerja berbasis stokastik secara umum untuk penilaian opsi saham eksekutif. Kedua, kami menyarankan dua spesifikasi yang dapat ditelusuri secara analitis untuk intensitas latihan dan penyitaan. Kedua spesifikasi memiliki bentuk (dengan asumsi ESO adalah vested): dimana lambda f adalah intensitas deformasi konstan latihan awal atau penyitaan karena penghentian kerja sukarela dini atau tidak disengaja, dan lambda e phi (St) 1 adalah intensitas latihan awal karena keinginan eksekutif untuk likuiditas atau diversifikasi. Intensitas yang terakhir hanya positif bila pilihannya adalah in-the-money. Berdasarkan spesifikasi pertama, phi (s) 1. Ini mengarah pada model waktu pendudukan analitis yang dapat dikategorikan untuk ESO, di mana probabilitas latihan awal karena keinginan eksekutif untuk likuiditas atau diversifikasi bergantung pada waktu pendudukan wilayah in-themoney . Di bawah spesifikasi kedua, phi (s) ln S ln K, mengarah ke model area Brownian yang dapat ditafsirkan secara analitis. Kedua spesifikasi tersebut mencerminkan fakta bahwa ada dua faktor ekonomi yang berbeda yang mempengaruhi keputusan latihan eksekutif. Inilah keinginan eksekutif untuk likuiditas atau diversifikasi yang hanya mendorong olahraga saat pilihan diberikan hak dan uang, dan kemungkinan penghentian pekerjaan sukarela atau tidak disengaja (ini sama mungkinnya bila pilihan dilakukan atau tidak masuk - the-money dan diasumsikan independen dari harga saham). Kami berpendapat bahwa spesifikasi kami dengan dua parameter intensitas yang terpisah memberikan deskripsi situasi ekonomi yang lebih lengkap daripada pekerjaan sebelumnya yang memodelkan latihan awal dan penyitaan yang timbul dari proses Poisson dengan parameter intensitas konstan tunggal yang terlepas dari harga saham. 7 Lihat Shimko (199) dan Jennergen dan Naslund (1993) untuk kasus khusus model kami dengan lambda e. 15 PILIHAN SAHAM EKSEKUTIF DALAM KERANGKA BERBASIS INTENSITAS 225 Hasil kami dapat diperluas lebih jauh dengan beberapa cara. Pertama, dalam praktiknya, perusahaan kadang-kadang mengatur ulang persyaratan ESO yang diterbitkan sebelumnya, terutama ketika harga saham yang menurun telah memindahkan opsi jauh di luar uang. Dalam beberapa karya baru yang menarik, Brenner, Sundaram, dan Yermack (1998) mengembangkan sebuah model untuk menilai ESO, yang menjelaskan kemungkinan repricing. Repricing melibatkan penentuan harga strike baru ketika harga saham turun secara signifikan. 8 Bila pilihannya dikreditkan ulang, harga pemogokan yang baru ditentukan (dalam praktiknya, pemogokan baru sering kali sama dengan harga saham saat itu, yaitu opsi ditulis kembali di uangnya). Brenner, Sundaram dan Yermack (1998) mencatat bahwa, dengan mengabaikan kemungkinan latihan awal atau penyitaan, sebuah ESO yang harga pemogokannya akan berubah K menjadi pertama kalinya harga saham turun di bawah penghalang yang telah ditentukan sebelumnya, dapat dinilai sebagai Portofolio panggilan turun-dan-keluar dengan harga pemogokan K (strike lama) dan panggilan turun-dan-dengan pemogokan K (pemogokan baru). Kemudian formula penilaian pilihan penghalang standar digunakan untuk menilai ESO (lihat Rubinstein dan Reiner (1991) misalnya). Pendekatan kami untuk memodelkan latihan awal dan penyitaan dapat diperluas ke ESO yang dapat diulang dengan cara ini dengan menambahkan batasan yang lebih rendah pada analisis kami. Consistent with our approach to modeling forfeiture and early exercise, an alternative approach to modelling repricing is to assume that it occurs at the first jump time of a point process, with some intensity dependent on the stock price. One possible (and analytically tractable) choice would be: h t lambda r 1 , where H is some barrier set at or below the strike K, andlambda r is constant. We note that the model of Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) arises as a special case of this framework by letting lambda r approach infinity. A second possible (and analytically tractable) choice for the specification of the repricing intensity would be: h t lambda r (ln H ln S t ) , where again H K, andlambda r is constant. As in the first specification, the probability of repricing in this model is zero if the option is in-the-money and positive when the option is out - of-the-money. Now, however the probability of repricing increases as the stock price declines below the barrier H. Second, our methodology can be extended to indexed ESOs. Johnson and Tian (1999) design and develop a pricing model for an ESO with a strike price indexed to a benchmark index. The indexed option filters out common risks beyond the executive s control, thereby increasing the efficiency of incentive contracts by focusing them on the relative performance of the company stock relative to a benchmark. Johnson and Tian (1999) derive the ESO pricing formula based on 8 The empirical evidence in Chance, Kumar, and Todd (1999) suggests that ESOs are usually repriced when the stock declines by about 25 16 226 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Margrabe s (1978) exchange option formula, ignoring the effects of early exercise and forfeiture. Our approach can be used to relax the latter assumption. A third extension of this line of research would involve valuing ESOs of companies which pay sizeable dividends. Formally, this is an extension of our results to time and stock price dependent intensity which becomes infinite if the stock price is above the critical stock price at an ex-dividend date. This extension would be most relevant for firms such as utilities which typically have large dividends and low volatilities. Finally, our methodology can be applied to value other assets. For example, it is well known that mortgages are not usually prepaid optimally and that companies often call their debt late. Potential explanations for late calling include bounded rationality, signalling phenomena, or agency costs. The latter two explanations account for the realistic possibility that the decision depends on private as well as public information. A model in which the probability of prepayment or call depends on the interest rate (and stock prices in the case of callable convertibles) might tractably capture the behavior of investors or managers more reliably than requiring that decisions be based on publicly available information. In general, the implications for asset pricing of optimizing behavior based on both public and private information is a fascinating avenue for future research. Appendix A. The expectation E, x e nuw T rho (T ) 1 Let tltt. Introduce the following notation: d 1 d 3 d 5 d 7 k x nut T, d 2 d 1 sigma T, k x nut T, d 4 d 3 sigma T, k x nut t, d 6 d 5 sigma t, k nut t, d 8 d 7 sigma t, C 1 1 x2 T t nux, C 2 t 12 C 1 t 32 xk, C 3 C 1 sigmax. Then the function rho (nu k, x,t ) E x e nuw T rho (T ) 1 (Linetsky, 1999): is given by 17 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 227 Region I: k andx rho I nu2 (nu k, x,t ) enux 2 T N(d 1 ) e nux nu2 2 T N(d 3 ) Region II: k andx 9 II rho (nu k, x,t ) Region III: k andx III rho e nux (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 e x2 2(T t)dt (nu k, x,t ) rho I (nu, x,t) e rhot rho II ( nu k, x, t ) Region IV: k andx where IV rho N(x) 1 2pi x II rho nun(d5 ) t 12 N (d 5 ) dt nuc1 N(d 7 ) C 2 N (d 7 ) ( nu, x, t ) (nu k, x,t ) II rho (nu, x,t) e rhot rho I ( nu, x, t ) ( nu k, x, t ), I rho e z2 2 dz, N (x) dn(x) dx is the cumulative standard normal and its density. B. The expectation E, x e nuw t alphaa t 1 Introduce the following notation: 1 2pi e x2 2 y 1 (2alpha) 23 (2s 2alphay), y 2 (2alpha) 23 2s, y 3 (2alpha) 23 (2s 2alphax), W plusmn 2sAi(y 2 ) plusmn (2alpha) 13 Ai (y 2 ), V 2sBi(y 2 ) (2alpha) 13 Bi (y 2 ), where Ai(z) and Bi(z) are Airy functions defined by (Abramowitz and Stegun, 1965): Ai(z) 1 ) cos (uz u3 du, pi 3 Bi(z) 1 ) ) exp (uz u3 sin (uz u3 du. pi For k , the function rho II (nu, x,t) is defined as a limit of the integral for k. rho II(nu, x,T) lim k rho II (nu k, x, T ). 18 228 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Then the function G alpha (x, y s) entering the expression (29) and defined as the Laplace transform e st E, x e alphaa t W t dy dt G alpha (x, y s)dy is given by (Davydov et al. 1998): Region I: x y G I alpha (x, y s) 2Ai(y 1) e 2sx, W Region II: x y ( G II 1 alpha (x, y s) e 2s(x y) W ) e 2s(xy), 2s W Region III: y x G III alpha (x, y s) GII(y, x s), Region IV: y x G IV alpha (x, y s) GI alpha (y, x s ), Region V: y x G V alpha (x, y s) 2piAi(y 3) (2alpha) 13 Region VI: x y alpha Bi(y 1 ) V Ai(y 1 ), W G VI alpha (x, y s) GV alpha (y, x s). The Airy functions are computed using the asymptotic expansions found in Abramowitz and Stegun (1965). To compute the inverse Laplace transform in Equation (29) numerically, we employ the Euler algorithm developed by Abate and Whitt (1995). This algorithm was previously applied to option pricing problems by Fu, Madan, and Wang (1998) and Davydov and Linetsky (1998). Then the integral in y in (29) is calculated numerically. Finally, (26) gives the ESO value under the forfeiture and early exercise intensity specification (23). References Abate, J. and Whitt, W. (1995), Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions, ORSA Journal of Computing 7, Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1965), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Akahori, J. (1995), Some formulae for a new type of path-dependent option, The Annals of Applied Probability 5(2), 19 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 229 Black, F. and Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81, Borodin, A. N. and Salminen, P. (1996), Handbook of Brownian Motion, Birkhauser, Boston. Bremaud, P. (198), Point Processes and Queues Martingale Dynamics, New York, Springer - Verlag. Brenner, M. Sundaram, R. and Yermack, D. (1998), Altering the terms of executive stock options, forthcoming in Journal of Financial Economics. Carpenter, J. N. (1998), The exercise and valuation of executive stock options, Journal of Financial Economics 48, Chance, D. Kumar, R. and Todd, R. (1999), The Re-pricing of Executive Stock Options, Virginia Polytechnic Institute working paper. Chesney. M. Jeanblanc-Picqueacute, M. and Yor, M. (1997), Brownian excursions and Parisian barrier options, Advances in Applied Probability 29, Dassios A. (1995), The distribution of the quantile of a Brownian motion with drift and the pricing of related path-dependent options, The Annals of Applied Probability 5(2), Davydov, D. and Linetsky, V. (2), Structuring, pricing and hedging double barrier step options, forthcoming in Journal of Computational Finance. Davydov, D. Linetsky, V. and Lotz, C. (1998), The Hazard-rate Approach to Pricing Risky Debt: Two Analytically Tractable Examples, Working paper, Northwestern University. Detemple, J. and Sundaresan, S. (1999), Non-traded asset valuation with portfolio constraints: A binomial approach, Review of Financial Studies 12, Duffie, D. Schroder, M. and Skiadas, C. (1996), Recursive valuation of defaultable securities and the timing of resolution of uncertainty, Annals of Applied Probability 6, Duffie, D. and Singleton, K. (1999), Modeling term structures of defaultable bonds, Review of Financial Studies 12, Embrechts P. Rogers, C. and Yor, M. (1995), A proof of Dassios representation of the alpha-quantile of Brownian motion with drift, The Annals of Applied Probability 5(3), Foster, T. Koogler, P. and Vickrey, D. (1991), The valuation of executive stock options and the FASB proposal, The Accounting Review 66, Fu, M. Madan, D. and Wang, T. (1997), Pricing Asian options: A comparison of analytical and Monte Carlo methods, Computational Finance 2, Geman, H. and Yor, M. (1993), Bessel processes, Asian options and perpetuities, Mathematical Finance 3, Geman, H. and Yor, M. (1996), Pricing and hedging double barrier options: A probabilistic approach, Mathematical Finance 6, Huddart, S. (1994), Employee stock options, Journal of Accounting and Economics 18, Huddart, S. and Lang, M. (1996), Employee stock option exercises: An empirical analysis, Journal of Accounting and Economics, pp Hugonnier, J. (1998), The Feynman-Kac Formula and Pricing Occupation Time Derivatives, ESSEC working paper. Jarrow, R. Lando, D. and Turnbull, S. (1997), A Markov model for the term structure of credit risk spreads, Review of Financial Studies 1, Jarrow, R. and Turnbull, S. (1995), Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk, Journal of Finance, March, Jennergren, L. and Naslund, B. (1993), A comment on the valuation of executive stock options and the FASB proposal, The Accounting Review 68, Johnson, S. A. and Tian, Y. S. (1999), Indexed executive stock options, Journal of Financial Economics, forthcoming. Karatzas, I. and Shreve, S. (1992), Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New York. 20 23 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Lando, D. (1998), On Cox processes and credit risky securities, Review of Derivatives Research 2, Leland, H. E. (1994), Corporate debt value, bond covenants, and optimal capital structure, Journal of Finance 49, Leland, H. E. and Toft, K. B. (1996), Optimal capital structure, endogenous bankruptcy, and the term structure of credit spreads, Journal of Finance, July, Linetsky, V. (1998), Steps to the barrier, RISK, April, Linetsky, V. (1999), Step options, Mathematical Finance 9, Madan, D. and Unal, H. (1996), Pricing the risk of default, Review of Derivatives Research 2, Madan, D. and Unal, H. (1998), A two-factor hazard-rate model for pricing risky debt in a complex capital structure, Journal of Financial and Quantitative Analysis, forthcoming. Marcus, A. and Kulatilaka, N. (1994), Valuing employee stock options, Financial Analysts Journal 5, Margrabe, W. (1978), The value of an option to exchange one asset for another, Journal of Finance 33, Marquardt, C. (1999), The Cost of Employee Stock Option Grants: An Empirical Analysis, Working paper, New York University. Merton, R. C. (1973), Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4, Merton, R. C. (1974), On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates, Journal of Finance 29, Pechtl, A. (1998), Some Applications of Occupation Times of Brownian Motion with Drift in Mathematical Finance, Working paper, Deutsche Bank, Frankfurt. Pechtl, A. (1995), Classified information, in Over the Rainbow, Risk publications, pp Perman, M. and Wellner, J. (1996), On the distribution of Brownian areas, Annals of Applied Probability 6, Revuz, D. and Yor, M. (1999), Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd edn, Springer, Berlin. Rubinstein, M. (1995), On the accounting valuation of employee stock options, Journal of Derivatives, Rubinstein, M. and Reiner, E. (1991), Breaking down the barriers, RISK 4, Shimko, D. (199), Autonomously Exercised Options, Working paper, University of Southern California. The Valuation of Executive Stock Options in an Intensity-Based Framework This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Jika Anda mengalami masalah saat mendownload file, periksa apakah Anda memiliki aplikasi yang tepat untuk melihatnya terlebih dahulu. Jika terjadi masalah lebih lanjut baca halaman bantuan IDEAS. Perhatikan bahwa file-file ini tidak ada di situs IDEAS. Mohon bersabar karena berkasnya mungkin besar. Karena akses ke dokumen ini dibatasi, Anda mungkin ingin mencari versi yang berbeda berdasarkan penelitian terkait (lebih jauh di bawah) atau mencari versi yang berbeda. Article provided by European Finance Association in its journal Review of Finance . Volume (Year): 4 (2000) Issue (Month): 3 () Pages: 211-230 Find related papers by JEL classification: G13 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Contingent Pricing Futures Pricing G39 - Financial Economics - - Corporate Finance and Governance - - - Other M41 - Business Administration and Business Economics Marketing Accounting Personnel Economics - - Accounting - - - Accounting No references listed on IDEAS You can help add them by filling out this form. Kutipan diekstrak oleh CitEc Project. Berlangganan RSS feed untuk item ini. Item ini tidak terdaftar di Wikipedia, pada daftar bacaan atau di antara item teratas IDEAS. When requesting a correction, please mention this items handle: RePEc:oup:revfin:v:4:y:2000:i:3:p:211-230. Lihat informasi umum tentang cara memperbaiki materi di RePEc. For technical questions regarding this item, or to correct its authors, title, abstract, bibliographic or download information, contact: (Oxford University Press) or (Christopher F. Baum) If you have authored this item and are not yet registered with RePEc, we encourage you to do it here. Ini memungkinkan untuk menautkan profil Anda ke item ini. Ini juga memungkinkan Anda untuk menerima kutipan potensial dari item ini yang tidak kami ketahui. Jika referensi benar-benar hilang, Anda dapat menambahkannya menggunakan formulir ini. Jika daftar referensi lengkap item yang ada di RePEc, namun sistem tidak terhubung dengannya, Anda dapat membantu formulir ini. Jika Anda mengetahui barang yang hilang yang mengutip yang satu ini, Anda dapat membantu kami menciptakan tautan tersebut dengan menambahkan referensi yang relevan dengan cara yang sama seperti di atas, untuk setiap item yang merujuk. Jika Anda adalah penulis terdaftar dari item ini, Anda mungkin juga ingin memeriksa tab kutipan di profil Anda, karena mungkin ada beberapa kutipan yang menunggu konfirmasi. Harap dicatat bahwa koreksi mungkin memakan waktu beberapa minggu untuk memfilter berbagai layanan RePEc. More services Follow series, journals, authors amp more New papers by email Subscribe to new additions to RePEc Author registration Public profiles for Economics researchers Various rankings of research in Economics amp related fields Who was a student of whom, using RePEc RePEc Biblio Curated articles amp papers on various economics topics Upload your paper to be listed on RePEc and IDEAS EconAcademics Blog aggregator for economics research Plagiarism Cases of plagiarism in Economics Job Market Papers RePEc working paper series dedicated to the job market Fantasy League Pretend you are at the helm of an economics department Services from the StL Fed Data, research, apps amp more from the St. Louis FedThe Valuation of Executive Stock Options in an Intensity-Based Framework This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of. This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Keywords: Brownian area early exercise executive stock options Feynman-Kac formula forfeiture Laplace transform occupation time point processes with random intensity Journal Article. 0 words. Subjects: Financial Law Financial Institutions and Services Financial Markets Full text: subscription required